摘要：真正有效的教学不是简单地让学生占有别人的知识，不是让学生做大量的题目，而是让学生建构自己的知识经验，形成自己的见解。“授之以鱼，不如授之以渔”。变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。我们不要现成的数学，而需要活动的数学，让学生们积极地参与到数学课堂活动中来，使他们能学到真正的数学，能力上得到真正的提升。
关键词：有效的教学；建构知识经验；变式教学；能力的提升
中图分类号：G632.3 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-228-01
大家知道，真正有效的教学不是简单地让学生占有别人的知识，不是让学生做大量的题目，而是让学生建构自己的知识经验，形成自己的见解。“授之以鱼，不如授之以渔”。变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。下面，我就变式思维训练中的一题多解和一题多变问题作一些探讨。
例1：如图1，在⊿ABC中，AB=AC，P为BC上的一动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，CF为AB边上的高线，求证：PD+PE=CF。
证法1：延长DP，过C作CH⊥DP于H，如图所示：
∵CH⊥DP，PD⊥AB
∴CH∥AB
∴∠B=∠PCH
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠PCH=∠ACB
在⊿PCH和⊿PCE中，
∵∠PCH=∠ACB
∠PHC=∠PEC
PC=PC
∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)
∴PE=PH
∴PD+PE=PD+PH=DH
易证：四边形DHCF为矩形
∴DH=CF
∴PD+PE=CF
【评析】这种证明方法叫补短法，通常我们要把较短线段进行合并，使它们成为一条线段，从而转化成为证明两线段相等。
证法2：过D作BC的平行线，交CF于H，如图所示：
∵DH∥PC，CH∥PD
∴四边形PCHD为平行四边形
∴PD=CH，DH=PC
∵DH∥BC
∴∠FDH=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠FDH=∠PCE
在⊿DFH和⊿CEP中
∵∠FDH=∠PCE
∠DFH=∠CEP=90°
DH=PC
∴⊿DFH≌⊿CEP(AAS)
∴PE=FH
∴CF-FH=CH=PD，CF-PE=PD
即PD+PE=CF
【评析】这种证明方法叫截长法，通常我们要将较长线段进行分割，使分割成的线段正好等于两较短线段的长，从而转化成为证明两线段之差等于另一条线段的长。关于截长法，读者也可以通过下面添加辅助线的方法加以解决。这里，不再赘述。
在平时的教学中，我们常常对试题进行情景和量的改造，让学生再思考，再训练，以达到触类旁通，举一反三之目的。
例2，如图：在⊿ABC中，AB=AC，点P在BC的延长线上，过点P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，过点P作PD⊥AB于点D，CF是AB边上的高线，那么PD，PE和CF之间存在什么数量关系？写出你的猜想并加以证明。猜想：PD-PE=CF
证明：过C作CH⊥PD于H，如图所示
∵CH⊥PD，AB⊥PD
∴CH∥AB
∴∠HCP=∠B
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠HCP=∠ACB=∠ECP
在⊿PCH和⊿PCE中：
∴∠HCP=∠ECP∠CHP=∠CEP=90°PC=PC
∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)
∴PH=EP
∴PD-PE=PD-PH=DH
∵四边形CHDF为矩形
∴DH=CF
∴PD-PE=CF
【评析】本题中，由于点P的位置发生改变，使三线段之间的数量关系发生了改变，但证明方法却没有变化。
总之，任何科学成果，都是思维活动的成果，都要经过一个特定的思维过程，数学更是如此。它的每一个结论的发明、发现，每一个定理、公式的得出，一般都要经过多次的观察、猜想、类比、联想、归纳、分析和思维跳跃，思维发散，思维复合等过程，因此，我们不要现成的数学，而需要活动的数学，让学生们积极地参与到数学课堂活动中来，使他们能学到真正的数学，能力上得到真正的提升。