北师大版《义务教育课程标准实验教科书・数学》七年级上册第173页“试一试”，是一道开放性的数学应用题。由此加以适当的变化就可以得到2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题第11（A）题：8个人乘速度相同的两辆小汔车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机）。其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟。这时惟一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆小汽车限乘5人，且这辆车的平均速度是60千米/小时，人步行的平均速度是5千米/小时。试设计一种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站。
一、 问题探究
分析该问题题意可知，当小汽车出现故障后，乘这辆小汽车的4个人行走方式是完全步行（时间不允许）或原地等候另一小汽车接送直达火车站，或者先步行再乘另一小汽车到达火车站；另一小汽车的4个人可以乘车直达火车站，也可以先乘车再步行到火车站。因此，可以考虑设计的方案有6种，但有些方案受时间限制无需考虑。于是，可以得到以下几种方案：
方案1当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车在原地等待，另一辆小汽车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，立即返回接送在故障点等待的4个人，使得两批人员最后同时到达车站；
方案2当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车步行，另一辆小汽车将车内的4个人送到火车站，立即返回接送步行的4个人到达火车站；
方案3当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人先下车步行，另一辆小汽车将车内的4个人送到某地方后，让他们也下车步行，再立即返回接送小汽车出现故障而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。
方案4当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车在原地等待，另一辆小汽车将车内的4个人送到火车站后，再立即返回接送在故障点等待的4个人到达火车站。
二、 问题解决
探究方案1设小汽车将车内4个人送到距火车站相遇x千米处，立即返回接在故障点等待的4个人，根据题意得：
说明 列方程所用的等量关系是：第一批人员步行的时间=小汽车返回后至到火车站所需的行驶时间。
说明 列方程所用的等量关系是：步行的4个人与返回的小汽车相遇前的步行时间等于相遇前小汽车的行驶时间。
这个问题还有一些等量关系，如：小汽车从返回到相遇步行的4个人所用的时间等于小汽车返回到相遇所用的时间；步行的人所行的路程与小汽车行驶路程的和等于故障点与火车站之间的路程的2倍等。利用这些关系，我们还可以找到其他列方程的思路，请读者自行研究。（下同）。
探究方案3 设小汽车将第一批的4个人送到距火车站x千米处，立即返回接另外步行的4个人。
解得x=2∴8人全部到火车站所需的时间：2÷5+（15-2）÷60=（小时）=37（分钟）42分钟，所以此方案不符合要求。
三、 问题反思
上述方案1、2、3中，每种方案都有多种解决方法，都是可行的赶车方案，但这是一个实际问题，考虑到汽车调头及上下车所耽误的时间，方案1与方案2的赶车时间仍然有些紧张，以选择方案3为佳。
四、 问题拓展
对于这个竞赛问题，可以进行一般化处理，拓展以下问题：
现有ab个人（其中a、b为正整数），要从某地赶往火车站乘车，某地与火车站相距C，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，已知包括司机在内这辆汽车限乘（b+1)人，而且这辆汽车平均速度是v/h，人步行的平均速度是v/h，问至少需要多少时间，才能使全部人员赶到火车站？
如果将上述竞赛问题中的8个人变为12个人，其他条件不变，则用一辆小汽车将12个人全部送到火车站至少需要多少时间？如果人数再变为16人？由上述方案3的思路不难找到正确的结果，请读者自行解决。
数学建模在数学学习中有着重要的地位和作用。掌握数学建模的思想和方法，需要我们在数学问题特别是实际问题中，不断地体验和运用。这将有利于培养数学能力、提高探究水平。
（责任编辑何炳均）
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