三个力的合力范围 [一道合力范围问题的延伸]

  合力的范围是我们经常面对的力的合成问题,下面将从一道合力的范围问题延伸出一系列相关的问题。   例题:大小为4 N、7 N和9 N的三个共点力,它们的最大合力是多大?最小合力是多大?
  错误解析:当三个力同方向时,合力最大,此时,f=20 N。当4 N、7 N的两个力同向且与9 N的力方向相反时,合力最小,此时f=2 N。
  错解分析:在求三个共点力最小合力时,由于思维定式,仍和求最大合力一样,把三个力限定在一直线上考虑,从而导致错误。
  正确解析:当三个力同方向时,合力最大,合力最大值为f=f+f+f=20 N。
  由于这三个力中任意两个力的合力的最小值都小于第三个力,所以这三个力的合力的最小值为零。
  点拨:共点的两个力(f,f)的合力的取值范围是|f-f|≤f≤f+f。若第三个共点力的大小在这一范围内,那么这三个力的合力可以为零。必须指出,矢量的正负号是用来表示矢量的方向的,比较两个矢量的大小应比较这两个矢量的绝对值,而不应比较这两个力的代数值。
  延伸
  例1 在同一平面上的三个共点力,它们之间的夹角都是120°,大小分别为20 N、30 N、40 N,求这三个力的合力。
  解析:求两个以上共点的合力,可依次应用平行四边形法则。为此可先求出f、f的合力f ′,再求f ′与f的合力(图1)。由于需计算f ′与f的夹角θ,显得较烦琐。
  比较方便的方法可以先分解、后合成――把f分成20 N+10 N两个力,f分成20 N+20 N两个力。因为同一平面内互成120°角的等大小的三个共点力的合力等于零,于是原题就简化为沿f方向一个10 N的力(f2′)、沿f方向一个20 N的力(f3′)的合力(图2)。
  由以上先分解、后合成的方法得合力:
  f=
  =
  =10 N=17.3 N。
  同样由余弦定理得方向角φ=90°,即合力f垂直于f。
  点拨:根据同样道理,也可把原来三个力看成(30 N-10 N)、30 N、(30 N+10 N),于是原题就转化为一个沿f反向10 N的力与一个沿f方向10 N的力的合力。
  例2 两个共点力f和f的大小不变,它们的合力f 跟 f、f两力之间的夹角θ的关系如图3所示,则合力f大小的变化范围是多少?
  解析:由于图中显示合力f与两分力f、f之间夹角θ的图像对θ=π呈对称关系,因此只需根据其中一支图线列式讨论。
  由图线中左半支可知:θ=π时,f-f=1,(1)
  θ=时,f2+f2=52(2)
  联立两式得:f=4 N,f=3 N。
  根据合力大小的变化范围 f-f ≤f≤f+f,得合力变化范围为1~7 N。
  点拨:为了加深对图3的认识,可设想固定的f,使f绕作用点O转动(图4)。可以看到,它们的合力必以θ=π为轴呈对称关系。
  
  注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文