一、知识回顾 本部分涉及的知识点有全等形与全等三角形的有关概念、三角形全等的性质与判定、比例的基本性质、线段的比、成比例线段、黄金分割、相似多边形的性质、两个相似三角形的概念与性质、两个相似三角形的判定、位似图形.
二、能级要求
1.了解全等三角形的概念.
2.能够熟练运用两个三角形全等的判定方法.
3.了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段,黄金分割.
4.了解相似多边形的概念,理解相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积比等于对应边比的平方.
5.了解相似三角形的概念和性质,理解两个三角形相似的条件.
6.了解图形的位似的概念,能利用位似将一个图形放大或缩小.
7.能利用图形的相似解决实际问题.
三、重点难点
本部分应该重点掌握全等三角形的判定、两个相似三角形的性质与判定.难点是全等三角形和相似三角形的判定.
四、考点扫描
考点一全等三角形的判定
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC,交AC于点E,交AD于点F,过点F作FH∥BC,交AC于点H.求证:AE=CH.
【分析】直接证明AE=CH比较麻烦,注意FH∥BC!我们过点F作FG∥AC,交BC于G,则可得四边形FGCH为平行四边形,由平行四边形的性质可知CH=FG.
又由于∠AEF=∠C+∠CBE,∠AFE=∠ABE+∠BAD,我们可证∠AEF
=∠AFE,从而可得AE=AF.我们要证明的AE=CH就转化为证明FA=FG,这点我们可以通过证明△ABF≌△GBF获得.
考点二全等三角形的性质
【例2】(2009太原)如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为().
A.20° B.30°
C.35° D.40°
【解析】本题考查全等三角形的性质,△ACB≌△A′CB′,∴∠ACB=∠A′CB′,
∴∠ACA′=∠BCB′=30°,故选B.
考点三相似的基本性质
【例3】(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( ).
A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1
【解析】由△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2得这两个三角形的相似比为1∶2,△ABC的面积与△DEF的面积之比等于相似比的平方,所以本题应该选B.
【说明】当两个三角形相似时,两个三角形的对应角相等,对应边成比例,两个三角形的周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
考点四判断两个三角形相似
【例4】(2009新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ).
【解析】△ABC的三边长分别为、2、,A中的三角形三边长分别为、、1,B中的三角形三边长分别为、、3,C中的三角形三边长分别为2、、1,D中的三角形三边长分别为、、2,由于∶2∶=∶∶1,所以本题选A.
【例5】(2009吉林省)如图,⊙O中,弦AB、CD相交于AB的中点E,连接AD并延长至点F, 使DF=AD,连接BC、BF.
(1)求证:△CBE∽△AFB;
(2)当=时,求的值.
【解析】(1)证明:∵AE=EB,AD=DF,
∴ED是△ABF的中位线,
∴ED∥BF,∴∠CEB=∠ABF.
又∠C=∠A,∴△CBE∽△AFB.
(2)解:由(1)知△CBE∽△AFB,∴==.
又AF=2AD,∴=.
考点五位似
【例6】(2009衢州)如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( ).
A.-a B.-(a+1)
C.-(a-1) D.-(a+3)
【解析】由题意可知,△ABC∽△A′B′C,且相似比为1∶2,根据相似的性质可以求出B点横坐标是-(a+3).
【说明】(1)如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这两个多边形的相似比叫做位似比.
(2)利用位似图形的这一性质,我们可以将一个几何图形进行放大或缩小:①确定位似中心;②将已知多边形的顶点分别与位似中心连接起来,根据放大或缩小的要求在位似中心同侧或异侧画出相似图形.
【例7】(2009泸州)如图,P是正三角形ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P′BA,则∠PBP′的度数是( ).
A.45° B.60°C.90° D.120°
【解析】由于△P′BA是由△PBC旋转得到,所以△P′BA≌△PBC,由全等性质可知∠PBC
=∠P′BA,进而可推出∠PBP′=∠ABC=60°.
【例8】(2009南宁)三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图).现测得OA=20cm,OA′
=50cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长比是.
【解析】这两个三角形是位似三角形,其位似比等于相似比,由于OA∶OA′=2∶5,所以这两个三角形的周长比也是2∶5.
【点评】平移、旋转、翻折属于全等变换,即变换前后的两个部分全等,这时我们可以借助全等三角形的对应边相等、对应角相等来解决问题;而位似变换不属于全等变换,位似变换前后的两个图形相似,这时我们可借助相似三角形的知识解决问题.
五、中考试卷的变式
【例9】(2009抚顺)如图1,已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点,BE、CF相交于点G,FG=2,则CF的长为( ).
A.4B.4.5C.5D.6
【解析】由于点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点,所以EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC,可得△EFG∽△BCG,可得FG∶GC=EF∶BC=1∶2,由FG=2可求出CG=4,所以FC=FG+GC=6.
【变式】 (2009黄石)如图2,在?荀ABCD中,E在DC上,若DE∶EC=1∶2,则BF∶BE=.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,可得△ABF∽△CEF,所以BF∶EF=AB∶CE=3∶2,所以BF∶BE=3∶5.
【点评】这两题的图形中都隐含着一个相同的基本图形(如图3),已知条件是AB∥CD,得出的结论是△AOB∽△COD,可进一步推出结论=
=,∠A=∠C,∠B=∠D等.
【例10】(2009郴州)如图4,在△ABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3.
(1)求的值;
(2)求BC的长.
【变式】见例5.
【点评】这两题的图形中都隐含着一个相同的基本图形(如图4),已知条件是DE∥BC,得出的结论是△ADE∽△ABC,可进一步推出结论==,∠ADE=∠B,∠AED
=∠C等.
六、2010年考点预测
2010年全等三角形和相似三角形仍然应该是中考考查的重要内容,如果直接考查全等和相似的基本性质和判定方法,其考查形式可能是一道开放性的填空题或者多结论判断正误的选择题,常常会通过对图形的平移、旋转、翻折来考查全等的性质,在对投影、位似等知识考查过程中考查相似的基本知识;运用全等和相似进行简单的计算或者证明也可能出现在比较简单的解答题中,也可能以全等、相似的知识为主要考点,再综合其他几何知识一起成为一个综合性试题.这部分知识是中考的必考题,但所占的分值不一定很高,一般占总分值的5%～10%左右.
总之,2010年中考,考查考生的基础知识、基本技能、基本思想方法,突出重点知识重点考查的命题原则将继续保持,以数学问题为载体考查考生基本的数学素养和一般能力的基本方针不会改变,增强试题的基础性、应用性、实践性、开放性、探究性将是2010年中考数学试题的重要特征.