例1(2009武汉)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
点拨:①销售利润=销售数量0元的销售数量-因涨价而减少的数量,单件利润=售价-进价.确定自变量取值范围时,注意“每件售价不能高于65元”.
②确定最大利润时,除了正确运用配方法外,还要注意“x为正整数”,以免因疏漏而失分.
③第3小题的第一问就是已知函数值求自变量的取值的问题.解答第二问时,假如能在头脑中浮现出函数的图象,运用函数的性质,注意到自变量的取值是正整数,就能使解答完美“收官”.
解:(1)y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100(06,∴八月不需要采取措施.
例3 (2009山东)为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神,有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点,对彩电、冰箱(含冰柜)、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补.企业数据显示,截至2008年12月底,试点产品已销售350万台(部),销售额达50亿元,与上年同期相比,试点产品家电销售量增长了40%. (1)求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台(部)?
(2)如果销售家电的平均价格为:彩电每台1500元,冰箱每台2000元,手机每部800元,已知销售的冰箱(含冰柜)数量是彩电数量的1.5倍,求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台(部),并计算获得的政府补贴分别为多少万元?
点拨:①第(1)题是常规的增长率问题,设2007年销量为a万台,列方程即可解得;
②设销售彩电x万台,可得冰箱与手机的销售数量,由销售总额建立方程,解方程求得彩电销售数量,进而求得冰箱与手机的销售数量,即可分别求出购买各类家电所获得的政府补贴.
解:(1)2007年销量为a万台,则a(1+40%)=350,a =250(万台).
(2)设销售彩电x万台,则销售冰箱x万台,销售手机(350-x)万台.由题意得:1500x+2000+800(350-x)=500000. 解得x=88.
∴x=132,350-x=130.
所以,彩电、冰箱(含冰柜)、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部.
∴ 885003%=17160(万元),
1320003%=34320(万元),
130003%=13520(万元).
获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元.