勾股定理在西方国家又称毕达哥拉斯定理,是平面几何中十分重要的定理,它反映了直角三角形中三条边的关系,在理论上和实践中都有着广泛的应用,在中考题中也多有涉及,下面列举中考题几例供同学们复习时参考.
一 、勾股定理的证明
例1 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图1,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到A B"C"D"的位置,连接CC",设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC"D"的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
证明: 四边形BCC"D"为直角梯形,
∴S梯形BCC"D"=(BC+C"D")•BD"=.
∵Rt△ABC≌Rt△AB"C",∴∠BAC=∠B"AC".
∴∠CAC"=∠CAB"+∠B"AC"=∠CAB"+∠BAC=90?
∴S梯形BCC"D"=S△ABC+S△CAC"+S△D"AC"
=ab+c2+ab=.
∴=.∴a2+b2=c2.
说明:在近几年的中考试题中,考查勾股定理证明的试题有增强的趋势,主要是利用图形面积之间的关系证明勾股定理,一方面增进了同学们对证明勾股定理的数学史的了解,另一方面这类试题对培养同学们的探索精神也大有裨益.
二、勾股定理在计算中的应用
例2 如图2,在△ABC中,∠CAB=120�B=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足.求AD的长.
解:过C作CE⊥BE交BA的延长线于E,
∵AC=2,∴AE=1.
在Rt△ACE中,由勾股定理得:
CE2=AC2-AE2=3,∴CE=,
在Rt△BCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,
∴BC=2.∵S△ABCA=AB说明:当所给的图形有直角三角形时,我们可想到勾股定理的应用.
三、勾股定理的实际应用
例3如图3, 一架长5米的梯子 ,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
解:是.证明如下:
在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,
根据勾股定理得AC==4米.
DC=4-1=3米.
在Rt△DCE中,DC=3,DE=5,
根据勾股定理得CE==4米.
BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.
说明:在用勾股定理解决实际问题时,关键是根据题意画出图形,把实际问题抽象成数学模型,然后运用勾股定理等解决,必要时还要用到方程(组)的方法求解.
四、与勾股定理有关的探索题
例4 图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________.
解:观察图形可知①对应斜边长为,②对应斜边长为,③对应的斜边长为,……,第n个对应斜边长为.
五、勾股定理逆定理的应用
例5 已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ,
∴ c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).
(1)当a2-b2≠0时,化简后得c2=a2+b2 ,
∴ △ABC是直角三角形.
(2)当a2-b2=0时,a=b,∴ △ABC是等腰三角形.
说明:本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2:在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.
六、与勾股定理有关的创新题
例6 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图5所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.
分析:根据已知条件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90��CB+∠ECD=90�伞�CD+∠CED=90��浴�CB=∠CED,这样可得△ABC≌△CDE,所以BC=ED,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,
由S1=AB2,S2=DE2,AC2=1,所以S1+S2=1.
同理可得S3+S4=3,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.
说明:本题不是直接求出S1,S2,S3,S4,而是借助勾股定理求出S1+S2,S3+S4.体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.