初学二次根式时,由于对二次根式的概念和性质理解得不够透彻,一些同学在解题时,往往感到力不从心.如果掌握了以下几种常用的解题思想方法与技巧,就能较为轻松地驾驭各种题型.
一、分类对论
例1已知|m|=3,=2.且mn>0,则m+n的值为.
分析:由|m|=3,=2可得m=,n=,由mn>0,可知m,n为同号,进而可求得m,n的值.
解:∵|m|=3,=2,
∴m=,n=.
又∵mn>0,∴m,n为同号.
即m=-3,n=-2或m=3,n=2.
∴m+n=.
点评:遇到这类多种情况并存的问题,需要进行分类讨论,以保证答案的完整准确,做到“滴水不漏”.
二、整体代入
例2已知a=,b=,求a2+b2的值.
分析:a,b值的形式较为复杂,如果直接代入,计算量较大.因为a2+b2=(a+b)2-2ab,而a+b与ab的值容易求得,故可采用先将原式变形再整体代入的方法求解.
解:a+b=+=,ab==.
∴a2+b2=a2+2ab+b2-2ab
=(a+b)2-2ab
=()2-2
=4.
点评:对这类条件求值问题,先不要急于代入求值,应先冷静观察分析已知条件与所求值式的关系,看能否经过适当的变形,用整体代入的方法求解.
三、数形结合
例3实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:-+.
分析:解答这类题的关键是判断被开方数底数的符号.由数轴可得a,b,a-b的符号,结合二次根式的定义和性质进行化简.
解:观察数轴可知:a0,a-b