对于一些比较复杂，条件和结论之间关系不明朗，难以从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样就能化难为易，化隐为显，从而将问题解决. 这就是“正难则反”的解题策略. 在集合与简易逻辑中应用“正难则反”的思想，往往能开拓解题思路，简化运算过程.
一、补集思想
有些集合问题，从正面处理，一是解题思路不明朗，二是需要考虑的因素太多，要分多种情况讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错. 此时，可以从反面把不符合条件的情形求出来，进而求其补集，以达到化繁为简的效果.
例1 已知集合P={x|4≤x＜5，x∈R}， Q={x|k＋1≤x＜2k－1，x∈R}， 求 P∩Q≠Q时实数k的取值范围.
解 若P∩Q=Q，则P?哿Q.
当P=○时，满足P?哿Q，此时k＋1≥2k－1，解得k≤2；
当P≠○时，要使P?哿Q，则应有 k+1＜2k-1，k+1≥4，2k-1＜5,∴ k＞2，k≥3，k＜3， ∴ k的解集为○.
综上，当P∩Q=Q时，k≤2，所以当P∩Q≠Q时，k＞2. 故所求实数k的取值范围是k＞2.
评析 不难发现，P∩Q≠Q的情况太多，若正面解此题，就需要一一列举出来分别讨论，然后再求其并集. 这样，因考虑不周全与运算量大而容易出错，但“≠”的反面很单纯，即从问题的反面去思考探索，就容易得到正面结论.
二、转换命题
利用“原命题与逆否命题等价（或逆命题与其否命题等价）”，把那些从命题本身难以直接解答的数学问题转化成它们的逆否命题来考虑，往往可以使问题简化.
例2 已知p：k2－8x－20＞0， q：x2－2x＋1－a2＞0，若?劭p是?劭q的必要而不充分条件，求正实数a的取值范围.
解 设P={x|x2－8x－20＜0}={x|x＞10或x＜－2}， Q={x|x2－2x＋1－a2＞0}={x|x＞1＋a或x＜1－a}.
因为原命题与其逆否命题等价，而?劭p是?劭q的必要而不充分条件，所以p是q的充分而不必要条件， 即p对应集合是q对应集合的真子集， 故P?芴Q.
∴ a＞0，1-a≥-2，1+a≤10. ∴ 0＜a≤3.
评析 本例由“?劭p是?劭q的必要而不充分条件”，再根据原命题与其逆否命题等价，把问题转化为p对应集合是q对应集合的真子集. 在借助集合间的关系求a的取值范围时，利用数轴的直观性，便能找到解题途径.
三、反证法
根据“正难则反”的原理，如果直接证明原命题有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法. 反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常使用.
关于反证法证明命题“若p则q”时，其大致过程是：否定欲证结论，假定它的反面成立，进行推理，推出矛盾，于是说明反面不成立，则原结论当然成立.
推出矛盾可能出现以下三种情况：
1. 导出非p为真，即与原命题中的条件相矛盾；
2. 导出q为真，即与假设?劭q为真相矛盾；
3. 导出一个恒假命题，即与已知公理或定理相矛盾.
评析何时适合使用反证法呢？一般地说：
1. 结论本身是以否定形式出现的一类题目；
2. 有关结论是以“至多…”或“至少…”的形式出现的一类题目；
3. 有关惟一性、存在性的命题；
4. 结论的反面比原结论更具体、更容易研究和掌握的命题.
正确地作出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，需要注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立.
（编辑 孙世奇）
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