王建飞，王丽锋，王利辉
（1.中交第四公路工程局有限公司，北京 100022；
2.北京工业大学城市与安全减灾教育部重点实验室，北京 100124）
在强烈地震作用下，结构的某些构件由于材料的屈服和内摩擦等原因，通常会呈现出迟滞非线性，表现为刚度的减少与能量耗散能力的增加。近年来，隔震技术在建筑结构和桥梁工程领域获得了越来越广泛的应用。
一类是铅芯橡胶支座（Lead Rubber Bearings，简称LRB），目前对LRB隔震桥梁的研究主要集中在两方面，首先是LRB支座的性能试验与基于扩展Bouc-Wen模型的参数识别，其次是基于隔震支座滞变恢复力模型的桥梁动力响应模拟与破坏分析。在恢复力模型方面，通常采用双线性模型、修正双线性模型、等价双线性模型等。Bouc［1］于1967年首先研究用微分方程来描述圆滑滞变恢复力过程；
Wen［2］等将这种方法一般化，得到了能概括较大一类圆滑恢复力特点的滞变微分方程；
Park［3］将其进行了推广，使其可以模拟铅芯橡胶支座的双向耦合效应，提出的铅芯橡胶支座的恢复力模型能够较好地模拟其力学行为，为其在工程上的应用奠定理论依据。隔震支座性能试验方面，范立础［4］等对橡胶支座进行了大量的抗震性能试验研究；
刘文光等［5］对铅芯夹层橡胶隔震支座进行了试验研究；
杜修力等［6］对方形多铅芯橡胶支座进行了试验研究，为验证铅芯橡胶支座恢复力模型提供丰富的试验数据。滞变模型参数识别方面，Ma等［7］等分析了扩展Bouc-Wen模型的13个参数的敏感性，并通过参数空间转换进行了参数缩减；
Li［8］等对带有滑移现象的非线性滞回系统进行了参数识别；
Poon等［9］基于Hilbert-Huang变换的滞变结构模态反应识别；
王丽等［10］采用双线性弹簧单元模拟隔震支座的性能，并基于此研究隔震支座对桥梁顺桥向减震性能的影响；
Jangid［11］采用双向耦合的Park模型隔震支座，分析LRB隔震支座对三跨连续桥梁的水平双向地震激励作用下的地震响应进行分析，与未考虑双向地震激励的隔震桥梁的地震响应进行对比，发现不考虑双向激励时，反应峰值偏小。通过试验可以发现，LRB隔震支座能够有效减小桥梁的地震响应。
另一类是摩擦摆（Friction Pendulum System，简称FPS），是一种圆弧面滑动摩擦系统，具有较强的限、复位能力、耗能机制和良好的稳定性。对于摩擦摆支座，单面摩擦摆隔震系统和双面摩擦摆隔震系统是目前较常见并研究较多的类型［12］。Constantinou［13］和Tsopelas［14］通过试验研究了摩擦摆支座在隔震桥梁中的应用，发现摩擦摆支座具有较好隔震效果，能够减小桥墩地震响应、降低桥梁结构在地震中的损伤；
Constantinou［15，16］研究了摩擦摆支座的力学性能。然而，由于摩擦摆支座在实际桥梁工程中研究较少，国内对其摩擦摆支座本身力学性能及其在桥梁结构中的应用效果的研究较少。
目前常用的隔震桥梁的确定性地震反应分析方法包括反应谱法和时程分析法，这些分析方法为本文研究奠定了研究基础。然而对采用LRB和FPS隔震支座的桥梁的随机地震反应分析研究较少，本文给出了在非平稳随机地震激励下，LRB和FPS隔震桥梁地震反应分析方法；
研究非平稳随机地震激励下，LRB和FPS支座的一些重要参数（LRB屈服力、周期以及FPS摩擦系数等）对隔震桥梁地震反应的影响。
1.1 LRB计算模型
LRB的力－变形性质看作是双线性的，基于Wen等［2］提出的非线性模型，恢复力可表述为
式中，Fy表示支座的屈服强度；
cb和kb分别表示LRB支座的黏滞阻尼和初始刚度；
˙uj和uj分别表示LRB支座相对速度和位移；
α表示支座屈服后与屈服前刚度比；
Zj为无量纲的滞后位移分量，满足下列非线性一阶微分方程
式中，β、τ、A和n是控制支座滞后环形状和大小的参数；
n为整数常数，控制支座从弹性领域到塑性领域的光滑变化；
q是支座的屈服位移，表示符号函数。LRB滞回环的取值为：β＝τ＝0.5、A＝1、β＝1、α＝0.05。
根据LRB屈服后刚度，隔震周期Tb、规范化屈服力F0以及阻尼比ξb的计算公式如下
式中，Tb为支座的隔震周期；
md为桥梁上部结构的质量；
Σαkb为LRB总的屈服后水平刚度；
F0为规范化屈服力；
ΣFy示支座总的屈服力；
Wd为桥梁上部结构的重量；
ξb是阻尼比；
Σ cb是支座总的黏滞阻尼。
1.2 FPS计算模型
FPS的计算模型为刚塑性模型，其支座力和变形的关系可表示为
式中，kb表示在FPS曲率提供的支座刚度kb＝Wd／R，Wd为作用在FPS支座上桥面重量；
和uj分别表示FPS支座相对速度和位移。FPS在滑动前，其摩擦力的限值Fs表示为
式中，μ为摩擦系数。
FPS桥梁隔震系统可用支座隔震周期Tb，支座刚度kb来确定。而Tb又取决于FPS支座凹面曲率半径R和摩擦系数μ。
地震激励被看作被调制的稳态零均值的平稳高斯随机过程。地震加速度（t）可表示为
式中，φ（t）是确定性的调制或强度函数；
¨uf（t）是平衡随机过程。式（9）中的确定性的调制函数φ（t）可表示为
式中，t1和t2分别为强地震运动开始和结束的时间，为常数；
T0＝t1－t2为地震强烈运动持时。
地震激励的改进的功率谱密度函数（PSDF）为
式中，S¨uf（ω）为地震动的平稳功率谱密度函数，表示地震过程特征的地面加速度的功率谱密度函数可采用由Clough和Penzien修正形式［17］
式（13）和式（14）是代表岩床上土介质层的动力特性的第一和第二滤波器的频率反应函数。S0是白噪声基岩加速度的振幅；
ωg和ξg是第一滤波器的卓越频率和阻尼比；
ωf和ξf是第二滤波器的卓越频率和阻尼比。
变化参数值可取ξg＝ξf＝0.6，而且地震激励功率谱密度函数的模型不同形状由参数ωg和ωf变化确定的，如当ωf→0且ωg→∞时为单白噪声模型；
当ωf→0时为Kanai-Tajimi模型［18，19］。白噪声模型里取ωf＝10－5rad／s且ωg＝105rad／s，对Kanai-Tajimi模型，取ωf＝10－5rad／s。使用这些参数和式（16）的地震动功率谱密度函数的三种常见模型如图1所示。可变参数ωg和S0用来研究卓越频率和激励强度对隔震桥梁体系地震反应的影响。
图1 地震动谱的三种常见模型Fig.1 Three common models of ground motion spectrum
3.1 计算模型
隔震桥梁体系在水平双向地震激励下，在其地震反应分析中假设如下：在地震激励过程中，隔震桥梁上部结构为刚性和桥墩保持弹性［20］。隔震桥梁的桥面是直的，在桥纵轴方向由桥墩支撑，扭转反应是忽略的。桥梁建造在坚硬的土壤或岩石上，不考虑土－结相互作用。桥梁的下部结构由许多小的离散段构成的集中质量体系模型，每个相连的部分通过节点连结。每个节点有两个自由度，假定每一小段部分的质量以点质量的形式分布在相邻节点上，不考虑竖向地震作用。隔震桥梁结构的示意图和等价计算模型如图2所示。
3.2 运动方程及求解
据上述假定，在地震地面运动作用下，图2所示的隔震桥梁体系模型的运动方程可表述为
图2 隔震桥梁示意图和计算模型Fig.2 Schematic diagrams and computational models of the isolated bridge
式中，md为桥面质量；
［mp］、［cp］、［kp］分别代表n×n阶的质量、阻尼、刚度矩阵；
n为桥墩节点数；
Fa和Fb分别为桥台和桥墩处支座（LRB或FPS）恢复力；
ud为桥面相对地面的位移；
｛up｝＝｛u1，u2，…，un｝T为桥墩各节点的位移向量；
ui为桥墩第i个节点的水平位移；
｛ψ｝＝｛1，0，…，0｝T为n×1向量；
｛r｝＝｛1，1，…，1｝Tn×1影响系数向量；
｛¨ug｝是地震加速度向量。
模型中桥墩高等相等且桥墩横截面均相同，当顶部自由状态时，桥墩基本周期Tb表示为
桥墩的质量和桥面质量比可表示为
式（1）和式（6）分别表示LRB和FPS支座力和变形的非线性等式，不能直接应用状态变量法进行反应计算。对LRB 隔震体系，Jangid等［11］通过非线性分析证实等价线性化技术对LRB隔震结构的随机反应是有效的，并对LRB隔震桥梁随机反应进行了分析。
式中，Cj和Kj是线性项和非线性项最小化均方误差得到的等价常数，对η＝1，等价常数Cj和Kj可表示为
式中，E［］是预期算子。
对FPS支座，式（6）可用等价线性公式表示为
式中，Cj是线性项和非线性项的最小化均方误差得到的等价常数，等价常数Cj可表示为
LRB和FPS两种支座隔震体系可改写为统一的一阶微分方程形式
式中，｛Y｝为状态向量；
［H］为增广系统向量；
｛W｝为激励向量。
对LRB隔震桥梁体系，状态向量｛Y｝和激励向量｛W｝可表示为
对FPS隔震桥梁体系，状态向量｛Y｝和激励向量｛W｝可表示为
增广反应向量｛Y｝是Markov过程，对应的协方差矩阵［V］满足下列等式
式中，［V］T是矩阵［V］的转置矩阵，矩阵［V］和［P］单元可由下式给定
式中，Yi和Wi分别为向量｛Y｝和｛W｝的第i元素，对LRB隔震桥梁体系，除了P（2n＋8，2n＋8）＝2πS0外，矩阵［P］的所有元素都为0；
对FPS隔震桥梁体系，除了P（2n＋6，2n＋6）＝2πS0外，矩阵［P］的所有元素都为0。
通过引进调制函数φ（t），增广系统矩阵［H］是不定常的，采用Newmark法求解式（31）的增量形式要得到体系的非平稳反应。由于隔震支座的非线性特性，在积分求解时要求时间步非常小。隔震支座采用Runge-Kutta迭代法实现隔震桥梁随机反应分析。
5.1 LRB隔震桥梁的非平稳反应及参数分析
根据给出的LRB隔震桥梁模型、假设和运动方程，以及基于等价线性化技术得到的隔震桥梁随机反应表达式，通过求解式（31）可得到LRB隔震桥梁体系的非平稳的随机反应。根据式（10），确定强地震运动开始和结束的时间t1和t2，以及地震强烈运动持时T0，可以确定不同类型的调制函数，继而通过式（31）求得隔震桥梁的非平稳地震反应。所选取的调制函数包括两种类型：第一类型：t1＝2.5 s，t2＝7.5 s，c＝0.5 s－1；
第二类型：t1＝2.5 s，t2＝12.5 s，c＝0.5 s－1。T0：5～10 s。φ（t）＝1在所有时间上，表示隔震桥梁的平稳反应。
表1为当ωg＝5π rad／s、S0＝0.05m2／s3时，LRB隔震桥梁两种非平衡和平稳状态下不同地震功率谱激励下桥面加速度均方根、桥墩基础剪力均方根，桥墩处支座位移均方根峰值。由此可知，由于隔震桥梁具有较大阻尼，非平稳状态地面运动下LRB隔震桥梁的峰值反应和φ（t）＝1时隔震桥梁的平稳反应是相同的。当功率谱函数的频率变化和强度在适当时，可通过考虑地震动平稳模型来计算隔震桥梁的随机地震反应。为了减化计算，对平稳条件下各种参数对隔震桥梁的随机地震反应的影响进行分析。
表1 LRB隔震桥梁随机反应峰值Tab.1 Peak values of stochastic responses for bridges with LRB isolators
图3显示了桥墩周期变化对LRB隔震桥梁平衡均方根反应影响，Tp＝0时表示桥墩为刚性时LRB隔震桥梁的反应，按理想单自由度体系来计算。LRB隔震桥梁的桥面加速度均方根、桥墩基础剪力以及桥台和桥墩处支座位移变化不大。这就意味着桥墩周期对LRB隔震桥梁反应影响不大。在LRB隔震桥梁设计中，对桥面加速度和墩底基础剪力减小和支座位移增大间有个平衡，既能把桥面加速度和墩底基础剪力合理减小，又对支座位移要在可控范围。
图3 桥墩周期变化对LRB隔震桥梁反应影响Fig.3 Effect of pier period on the response of bridges with LRB isolators
图4显示了规范化支座屈服力对LRB隔震桥面加速度均方根的影响，随着LRB支座屈服力的增大，桥面加速度均方根开始减小，到最小值后又随屈服力的增加而增大。图5显示了规范化支座屈服力对LRB隔震支座位移均方根的影响，随着LRB支座屈服力的增大，支座位移均方根逐步减小。阻尼的增加能大大减小支座位移，但随阻尼比的增大，隔震周期对支座位移的影响逐渐减小。
图4 规范化支座力对LRB隔震桥梁桥面加速度均方根的影响Fig.4 Effect of nor malized bearing forces on acceleration root mean square of bridge deck with LRB isolator s
图5 规范化支座力对LRB隔震桥梁支座位移均方根的影响Fig.5 Effect of normalized bearing forces on displacement r oot mean square of bridge bearing with LRB isolators
5.2 FPS隔震桥梁的非平稳反应及参数分析
根据给出FPS隔震桥梁模型和假设，通过求解式（31）可得到FPS隔震桥梁体系的非平稳的随机反应。根据式（10），确定参数t1、t2、c和T0，可给出不同类型的调制函数的隔震桥梁的非平稳地震反应。第一类型：t1＝2.5 s，t2＝7.5 s，c＝0.5 s－1；
第二类型：t1＝2.5 s，t2＝12.5 s，c＝0.5 s－1。T0：5s～10s。φ（t）＝1在所有时间上，表示隔震桥梁的平稳反应。
表 2为当 ωg＝5πrad／s、S0＝0.05 m2／s3、Tp＝0.05 s、γ＝0.15、Tb＝2 s、μ＝0.075时，LRB隔震桥梁两种非平衡和平稳状态下不同地震功率谱激励下桥面加速度均方根、桥墩基础剪力均方根，桥墩处支座位移均方根峰值。达到平稳反应的时间很短，大约在2.5 s。由于隔震桥梁具有较大阻尼，本章对平稳条件下各种参数对隔震桥梁的随机地震反应的影响进行了分析。
表2 不同功率谱密度模型的FPS隔震桥梁随机反应峰值Tab.2 Stochastic response peaks of FPS isolated bridges with different power spectral density models
图6显示了桥墩周期变化对FPS隔震桥梁平稳均方根反应的影响，桥墩和桥梁上部结构的质量比γ＝0.15，FPS的摩擦系数μ＝0.075，以及激励所需要确定的参数ωg＝5π rad／s、Sb＝0.05 m2／s3。Tp＝0时表示桥墩为刚性时FPS隔震桥梁的反应，可按理想单自由度体系来计算。图6表明，桥墩周期对FPS隔震桥梁反应影响不大，可不考虑桥墩的柔度对LRB隔震桥梁反应影响。FPS隔震桥梁桥面加速度均方根和桥墩基础剪力均方根随着桥梁的隔震周期Tb增大而减小，另一方面，FPS隔震桥梁支座位移刚随着桥梁的隔震周期Tb增大而增大。因此，在FPS隔震桥梁设计中，既要把桥面加速度和墩底基础剪力合理减小，也要把支座位移控制在可控范围。
图6 桥墩周期变化对FPS隔震桥梁均方根的影响Fig.6 Effect of pier period on the displacement root mean square of bridges with FPS isolators
图7显示了支座摩擦系数对FPS隔震桥梁的影响，随着FPS摩擦系数的增大，桥面加速度均方根开始减小，到最小值后又随摩擦系数的增加而增大。这意味着选择一个合理的摩擦系数，使桥面的加速度反应最小。随着FPS支座摩擦系数的增大，支座位移均方根逐步减小。摩擦系数的增加能大大减小支座位移，但随摩擦系数的增大，隔震周期对支座位移的影响减小。
图7 FPS支座摩擦系数对FPS隔震桥梁反应的影响Fig.7 Effect of FPS bearing fr iction coefficient on the response of bridges with FPS isolators
本文在非平稳随机地震激励下，给出一种LRB和FPS隔震桥梁地震反应分析方法，讨论平稳和非平稳地震动下LRB和FPS隔震连续桥梁的随机地震反应，隔震周期、桥墩周期、LRB规范化屈服力以及FPS摩擦系数等一些重要参数对隔震桥梁地震反应的影响。得到如下主要结论：
（1）由于隔震桥梁具有较大阻尼，非平稳状态地面运动下LRB和FPS隔震桥梁的反应峰值和其平稳反应的峰值基本相等。
（2）当选择合适的功率谱函数的频率变化和强度时，可通过考虑地震动平稳模型来简化计算隔震桥梁的随机地震反应。
（3）桥墩周期对LRB和FPS隔震桥梁反应影响不大，在实际LRB和FPS隔震桥梁设计中，可以不考虑桥墩的柔度对LRB和FPS隔震桥梁反应影响。
（4）LRB和FPS隔震桥梁桥面加速度均方根和桥墩基础剪力均方根随着桥梁的隔震周期Tb增大而减小；
LRB和FPS隔震桥梁支座位移刚随着桥梁的隔震周期Tb增大而增大。因此，在隔震桥梁设计中，要根据桥梁设计的具体要求对隔震支座的设计参数进行选取和确定。