直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2. 这就是我们熟知的勾股定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 灵活应用它，可帮我们顺利地解答一些与线段有关的问题．
一、计算问题
例1 如图，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰直角三角形，CD＝8，BE＝3，则AC的长为（）.
A. 8 B. 5 C. 3 D. ■
分析：AC是直角△ABC的斜边，要求其长，应先确定BC和AB的长.
解：在△ACD中，
∵ △ABD、△BCE都是等腰直角三角形，
∴ AB＝DB，BC＝BE.
∵ BE＝3，CD＝8，
∴ BC＝3，DB＝5，AB＝5．
∵ ∠ABC＝90°，
∴ AB2+BC2=AC2.
∴ AC=■=■，应选D.
说明：一条线段如果是某个直角三角形的边，要求其长，常常先确定该直角三角形其他两边的长，然后应用勾股定理来解答．
二、证明问题
例2 如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC的中点，求证：AB2+3BC2=4BD2.
分析：依题意，△ABC、△DBC都是直角三角形，得AB2=AC2+BC2，BD2=CD2+BC2．要证明 AB2+3BC2=4BD2，只要证明(AC2+BC2)+3BC2=4(CD2+BC2).这只要证明AC2=4CD2即可.
证明：由D是AC的中点，得AC=2CD，AC2=4CD2.
在Rt△ABC中，
∵ AB2=AC2+BC2.
∴ AB2=4CD2+BC2.
∴ AB2+3BC2=4CD2+4BC2.
即有AB2+3BC2=4(CD2+BC2).
在Rt△BCD中，
∵ CD2+BC2=BD2，
∴ AB2+3BC2=4BD2.
说明：证明与线段平方有关的问题时，要仔细观察题图，看看是否存在以其中的线段为边的直角三角形． 若存在，就直接应用勾股定理，将线段的平方转化，然后逐步探索解答问题的途径；若不存在，就应构造出以其中的线段为边的直角三角形，再应用勾股定理．
例3 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上的一点，求证：AD2-AB2=BD・CD.
分析：为了得到AD2和AB2，需构造以AD为边和以AB为边的直角三角形，应用勾股定理找数量关系，将问题转化．
证明：过A作AE⊥BC于E．
在Rt△ADE和Rt△ABE中，
∵ AD2=DE2+AE2，AB2=BE2+AE2，
∴ AD2-AB2=DE2-BE2.
∵ DE2-BE2=（DE+BE）（DE-BE），
∴ AD2-AB2=BD（DE-BE）.
∵ AB＝AC，AE⊥BC于E，
∴ BE＝CE，DE－BE＝DE－CE＝CD，
∴ AD2-AB2=BD・CD.
说明：与线段平方有关的证明问题，离不开应用勾股定理． 当题图中不存在直角三角形时，必须先构造出以其中的线段为边的直角三角形．
三、实际问题
例4 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米. 如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足B将外移多少米？
分析：要求梯足B将外移多少米，即要求BE的长. 由于BE＝EC－BC，而BC＝0.7米，那么只需求EC的长. 又，EC是直角△DCE的一条直角边，DE＝AB＝2.5米，根据勾股定理，应先求出DC的长.
解：在△ABC中，
∵ ∠ACB＝90°，
∴ AC2+BC2=AB2.
∵ BC＝0.7，AB＝2.5，
∴ AC2+0?郾72=2?郾52，AC＝2.4.
在△CDE中，
∵ ∠DCE＝90°，
∴ DC2+EC2=DE2.
∵ DC＝AC－AD＝2，DE＝AB＝2.5，
∴ 22+EC2=2?郾52，EC＝1.5. ∴ BE＝EC－BC＝0.8．
∴ 梯足B将外移0.8米.
说明：梯子和竖直的墙与地面组成的三角形是直角三角形，那么图中有两个直角三角形，即Rt△ABC和Rt△CDE，且这两个直角三角形的斜边长都等于梯子的长．