题目:如图1,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F. (1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由;
(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?(2009年黄石市中考试题)
分析:这道动态探究型试题,是考查利用对角线特征来判定特殊平行四边形的典型题目.第(1)小题的探究解答是为后面第(2)、(3)小题做铺垫的,根据互为邻补角的角平分线互相垂直及平行线的性质可得OE=OC=OF.
解:(1)OE=OF.其证明如下:(如图2)
∵ CE是∠ACB的平分线,∴∠1=∠2.
∵ MN∥BC,
∴ ∠1=∠3.
∴ ∠2=∠3.
∴ OE=OC.
同理可证OC=OF,OE=OF.
(2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BF⊥EC,则由(1)可知FC⊥EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.
(3)当点O运动到AC中点时,OE=OF,OA=OC,
则四边形AECF为平行四边形,要使AECF为正方形,必须使EF⊥AC.
∵EF∥BC,∴AC⊥BC,∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形.
因此,当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
评注:事实上,当点O运动到AC中点时,四边形AECF为一矩形.另外,动态探究型试题也是中考的热点命题,希望同学们加强这类题目的训练.