勾股定理是几何中一个应用广泛的定理.不少同学在学习勾股定理时,由于马虎,在做题时总出现这样那样的错误.现就同学们常见的错误剖析如下. 一､受“勾三股四弦五”的影响,忽视分情况讨论
例1 一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边长的平方.
错解: 因为两边长分别为3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三边的长为5,所以第三边长的平方为25.
剖析: 题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边的长.造成错误的原因是思维定势,受“勾三股四弦五”的影响而忽视了分情况讨论.
正解:应分两种情况:
(1)若已知的两边长是直角边长,则第三边是斜边.
根据勾股定理,得斜边长为= 5,所以第三边长的平方为25.
(2)若已知的两边长是一条直角边长和斜边长,则较大的是斜边长.第三边是另一条直角边.
根据勾股定理,得另一直角边长为=,所以第三边长的平方为7.
综上,第三边长的平方为25或7.
二､忽视勾股定理的应用条件
例2如图1,△ABC中,AB = 10,BC = 12, BC边上的中线AD = 8.求证:AB = AC.
错解: 因AD为中线,所以CD =BC = 6.又AD = 8,所以在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC = = = 10.而AB = 10,所以AB = AC.
剖析: 由于受结论及题图的影响,加上AD为中线的条件,很多同学不进行推证,便直接认为△ACD为直角三角形,从而导致了错误.
正解:因为AD为中线,故BD = CD =BC = 6.又AB = 10,AD = 8,并且62 + 82 = 102,即BD2 + AD2 = AB2,所以△ABD为直角三角形,即AD⊥BC.所以在Rt△ACD中,由勾股定理,可求得AC = 10.所以AB = AC.
三､忽视勾股定理表达式的结构特点
例3 在△ABC中,∠A = 90°,∠A､∠B､∠C所对的边长分别为a､b､c,a =13,b = 5.求c.
错解: 由勾股定理,得a2 + b2 = c2,所以c = =.
剖析: 错解的原因在于忽视了勾股定理的本质特点,只注意到了表面形式.当∠C = 90°时,勾股定理的表达式为a2 + b2 = c2.而当∠A = 90°时,勾股定理的表达式应为b2 + c2 = a2.
正解:因为在△ABC中,∠A = 90°,所以由勾股定理,得b2 + c2 = a2.
所以c = = = = 12.
四､忽视对图形的讨论
例4 已知△ABC中,AB = 20,AC = 15,BC边上的高AD = 12,求△ABC的面积.
错解: 如图2,在Rt△ABD中,BD === 16.在Rt△ACD中,CD = == 9.所以BC = 16 + 9 = 25.
所以S△ABC = × BC × AD =× 25 × 12 = 150.
剖析: 错解中只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,实际上,高还有可能在三角形外.
正解: 当AD在△ABC内部时,如上解,BC =BD + CD = 25.
S△ABC = × BC × AD = × 25 × 12 = 150.
当AD在△ABC外部时,如图3,由勾股定理可求出BD = 16,CD = 9.故BC = BD - CD = 7.
S△ABC = × BC × AD = × 7 × 12 = 42.
所以△ABC的面积为150或42.L
注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文