初中数学学习中,有时会遇到一类条件中既含有相等关系,又含有不相等关系的应用题. 解答它们,要注意将所列的方程和所列的不等式联合起来,组成一个方程和不等式的混合组,再考虑代入消元的思想方法. 如此进行,可化难为易.
例1 一农户去年规模化养殖鸭和鸡共5500只. 由于场地和资金的限制,今年计划最多比去年多养殖鸭和鸡1000只,其中鸭最多可多养殖20%,鸡最多可多养殖10%,问今年最少可养殖鸡多少只?
分析:本题的条件中,含有如下相等关系和不相等关系:
①去年养殖的鸭+去年养殖的鸡=5500只;
②今年多养的鸭+今年多养的鸡≤1000只.
解:设去年养殖的鸭为x只,养殖的鸡为y只,那么今年可养殖的鸡为(1+10%)y只. 依题意,列方程和不等式混合组为
x+y=5500,20%x+10%y≤1000.?摇(1)(2)
由(1),得x=5500-y.(3)
由(2)、(3),得20%(5500-y)+10%y≤1000.
解之,y≥1000.
这时,(1+10%)y≥1100. 由此,(1+10%)y的最小值为1100.
答:今年最少可养殖鸡1100只.
例2 某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼,要求这两个品种总产量G(吨)满足:1580≤G≤1600,总产值为1000万元. 已知相关数据如下表所示:
问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围?(产值=产量×单价)
分析:本题的条件中,含有如下的不相等关系和相等关系:
①罗非鱼产量+草鱼产量≥1580吨;
②罗非鱼产量+草鱼产量≤1600吨;
③罗非鱼产值+草鱼产值=1000万元.
解:设该养殖场下半年罗非鱼产量为x吨、草鱼产量为y吨,那么其产值分别为0.45x万元、0.85y万元. 依题意得如下不等式组
x+y≥1580,x+y≤1600,0?郾45x+0?郾85y=1000.?摇(1)(2)(3)
解之,x≤900.
从而857.5≤x≤900.
答:该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在857.5吨至900吨的范围内.
例3 在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站. 检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站. 设旅客按固定的速度增加,检票口的检票速度也是固定的. 若开放一个检票口,则需30分种才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分种便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分种内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?
分析:本题的条件中,含有如下的不相等关系和相等关系:
①开放一个检票口,30分种检票的人数=需要检票的旅客人数;
②开放两个检票口,10分种检票的人数=需要检票的旅客人数;
③开放n个检票口,5分种检票的人数>需要检票的旅客人数.
解:设检票开始后每分种新增加的旅客人数为x人,检票的速度为每个检票口每分种检票y人,5分种检票完毕要同时开放n个检票口. 依题意,列方程和不等式的混合组为
a+30x=1×30y,(1)a+10x=2×10y,(2)a+5x≤n・5y.(3)?摇
显见,n的最小正整数值为4.
答:至少要同时开放4个检票口,才能使后来到站的旅客能随到随检.