一、 选择题 二、 填空题 (11) 33(12) (13) (14) 2(15) -190 (16) ,0∪(0,2)(17) (2009+x)ex
三、 解答题
(18) 解:(Ⅰ)在△ABD中,由余弦定理得BD2=2-2cosθ……… 2分
S=S△BCD+S△ABD=(2-2cosθ)+sinθ=sinθ-cosθ+,θ∈(0,π)…………………………………………………………………… 7分
(Ⅱ) S=sinθ-+,-7时,Tn=-(b1+b2+…+bn)+2T7=n(n-13)+42…………… 13分
∴ Tn=-n2+n, n≤7;n2-n+42, n>7.……………………………………… 14分
(20) (Ⅰ) 证明:由题意可知PA⊥AD,又面PAD⊥面ABCD, ∴ PA⊥面ABCD…………………………………………………………………… 3分
∴ PA⊥BC.又∵ AC=BC=, AB=2, ∴ 在△ABC中,BC⊥AC. ∴ BC⊥面PAC…………………………………………………………………… 6分
又BC?奂面PBC,∴面PAC⊥面PBC…………………………… 7分
(Ⅱ) 解:作CE⊥AB,垂足为E,连接PE. ∵ PA⊥面ABCD,∴ CE⊥面PAB,∴∠CPE就是PC与面PAB所成的角………………………… 10分
易证E是AB的中点,∴ PE=,CE=1……………………… 12分
∴ tan∠CPE==………………………………………… 14分
(21) (Ⅰ) 解: f′(x)=-3x2+2ax,由题意知 f′(1)=1,∴ a=2…… 3分
(Ⅱ) 证明: 由(Ⅰ)得f′(x)=-3x2+4x,令f′(x)=0,得x1=0,x2=. ∴ 在区间[-1,0]上f′(x)0,即f(x)递增…… 5分
又f(-1)>f(1), ∴ 当x∈[-1,1]时,f(x)max=f(-1)=-1,f(x)min=f(0)=
-4……………………………………………………………………… 7分
∴ 对任意的x1,x2∈[-1,1],都有f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min=3… 9分
(Ⅲ) 解:令f′(x)=-3x2+2ax=0,得x1=0,x2=………………… 10分
当a≥0时,在(-∞,0),,+∞上f(x)单调递减,在0,上f(x)单调递增. 要存在x0∈(0,+∞)使得f(x0)>0,只要f(x)极大=f>0,即a>3…………………………………………………………………… 13分
当a0时f(x)0.
综上所述,a的取值范围是(3,+∞)…………………………… 15分
(22)(Ⅰ) 解:由题意知RQ是线段PF的中垂线,∴QP=QF,Q点的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线. 设抛物线方程为y2=2px,则p=2, ∴ Q点的轨迹方程为y2=4x…………………………………………… 4分
(Ⅱ) 证明: 设定点A(x0,y0),AB斜率为k. ∵ AM=AN,∴ AC的斜率为-k…………………………………………………………………… 5分
AB方程为y-y0=k(x-x0). 设B(x1,y1),C(x2,y2),则y2=4x,y1-y0=k(x1-x0).整理得y1=;同理可得y2=-……………………………… 8分
∴ kBC===-(定值)…… 10分
(Ⅲ) 解: ∵ y0=2,∴ A(1,2),kBC=-1. 设BC的方程为y=-x+m,联立y2=4x,y=-x+m;得x2-(2m+4)x+m2=0, ∴ x1+x2=2m+4, x1x2=m2…………… 12分
又=(x1-1,y1-2),=(x2-1,y2-2),代入•=4整理得:2x1x2+(x1+x2)+1+m2-m(x1+x2)-4m=0,化简得m2-6m+5=0, ∴ m=1或5… 14分
∴直线BC的方程为x+y-1=0或x+y-5=0…………………… 15分