纵观近几年的中考试题及各类竞赛试题,“最佳点”、“最短距离”等问题已成为当前命题的一个新的亮点,其实它们均源自课本习题,其难度又高于原型,从其创作思路来看,形式多种多样,新颖活泼,能与初中数学中的某些图形的性质有机融合。笔者结合近几年的数学实践对北师大版教材中的一课后习题进行剖析与论述。
一 、几何模型的引入及分析
1.几何模型的引入。
如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在何处，才能使从A，B到它的距离之和最短？
作法：（1）作出点A关于直线l对称点A′；
（2）连接A′B，交l于点P，点P就是奶站的位置。
2.几何模型分析
（1）特点：已知一定真线同旁有两定点，可以从此直线上确定一点到两定点的距离之和最短。
（2）理论基础：轴对称的性质；三角形三边关系（两点之间，线段最短。）
（3）基本性质。观察此图形（图2），不难发现其中的多种关系，姑且归纳为“1，2，3”。
1—一对全等三角形：Rt△AOP≌Rt△A′OP;
2—两组相等线段：OA=OA′，AP=A′P；
3—三个相等的角：∠1=∠2=∠3。
二、几何模型的应用
1.基本运用。
由基本图形可以看出，点P为一动点，可以从直线L上任取，但“最佳位置”却只有一个，当“最佳位置”确定下来以后，问题便化动为静。因此，在解决一些问题时，往往需要先确定“最佳位置”即作图后，再进行推导与计算，下面举几例加以说明。
（1）与三角形相关。把此模型与三角形，特别是特殊三角形（如直角三角形、等腰三角形）的性质相结合解决问题。
（2）与四边形相关。巧妙地把菱形、矩形、正方形的轴对称性作为本模型的有效载体。
例1 如图3，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少？
解析：根据菱形的轴对称性可知，点B关于AC的对称点为点D，连接DE交AC于点F（图5），则点F使BF+EF的值最小，最小值为的的长，在Rt△ADE中，DE=AE。tan60°=3×
（3）与圆相关。
例2 如图5，AB为⊙O的直径，AB=2，OC为⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC[TX(],AD[TX(]=2CD[TX(]，点P为OC上一动点，则AP+PD的最小值是多少？
本题留给读者自己完成！
（4）与平面直角坐标系相关。
例3设想用电脑模拟台球游戏，约定：
1.每个球或球袋都视为一个点，若不遇障碍各球均沿直线前进；
2.A球击中B球，意味着B球在A球前进的路线上，且B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；
3.球撞击桌边后的反射角等于入射角。
如图6，设桌面上只剩下白球A和6号球B，希望A球撞击桌边上点C后反弹再击中球B，请给出一个算法（在电脑程序中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点C，并求出点C的坐标。
解析：假设A球撞击桌边OP后反弹再击中B球，确定点C的位置是比较简单的，方法同前面所述，关键是如何求出点C的坐标。点A（40，60）关于x轴的对称点A′的坐标为（40，-60），直线A′B与x轴的交点即是点C，故可设直线A′B的解析式为y=kx+b，则
解得k=3，b=-180。所以y=3x-180。令y=0，即3x-180=0，x=60。所以点C的坐标为（60，0）。
2．跨学科应用
此模型不仅可以用来解决许多数学问题，也可以解决其他学科中的相关问题，如物理学中的光线反射问题。
例如，如图7，一光源从点A发出光线，经平面镜L反射后过点B，请确定入射点O、入射光线、反射光线的位置。这一问题就需要借助于模型中的“角相等”这一性质来准确作图。
（作者单位：江苏省阜宁县沟墩中学）